Шарайн Мянгат ба Каталаны тоонууд

May 1, 2019

Дорнын их математикч, одон оронч, газарзүйч эрдэмтэн Шарайн Мянгат 1692 онд тухайн үедээ Манжийн эрхшээлд байсан одоогийн Өвөрмонголын Шилийн гол аймгийн нутагт төржээ.

Мянгатын удмынхны нутагт одоо «Мянгат» нэртэй хот буй

Түүний удам угшил, бага насны талаар байтугай ер нь хувийн амьдралынх нь талаарх мэдээлэл маш ховор. (Тухайлбал, аавынх нь нэрэн дээр Шарай, Шарав гэсэн хоёр хувилбар байгаа. Мөн зарим эх сурвалжид овгийн нэрийг нь Шарай гэж дурдсан бий. Хэрэв энэ үнэн бол Шарав, Шарай хоёрын төстэй байдал аавынх нэрийг Шарав гэдэгт эргэлзэхэд хүргэнэ.) Ямар ч байсан хошуундаа (эсвэл өөр нэг суурин газар) төрийн түшмэл бэлддэг сургуульд сурч байгаад, олон багачуудын дундаас шилэгдэн «Тэнгэрийг сүшиглэх яам» буюу «Эзэнт гүрний одон орны хүрээлэн» гэж буулгаж болохоор байгууллагын дэргэдэх сургуульд элссэн нь мэдэгдэж байгаа. Сургуульд сурч байх үедээ 1712 онд Энх-Амгалан хааныг Халуун гол дахь зуны ордонд нь бараа болон ирж одон орны тооцоо хийж байсан баримт бий. Ингээд сургуулиа 1713 онд төгсөөд, эзэнт гүрний одон орны хүрээлэнд ажиллах болсон бөгөөд, тэндээ жирийн түшмэлээс эхлээд хүрээлэнгийн захирал (ө.х. Тэнгэрийг сүшиглэх яамны сайд) хүртэл алба хашиж явжээ. Энэ хугацаандаа Чин гүрний цаг тооны бичгийг туурвих ажлыг гардан хариуцаж байсантайгаа холбоотойгоор дараах том бүтээлүүдэд жинтэй хувь нэмэр оруулж, эмхэтгэн хэвлүүлсэн байна.

  • Цаг тооны бичгийг тохируулах нь. 100 боть. 1713–1723 он.
  • Цаг тооны бичиг ба одон орны үзэгдлүүд. 10 боть. 1737–1742 он.
  • Одон орны хэмжих багажууд ба одот тэнгэрийн зураг үйлдэх талаар. 32 боть. 1744–1752 он.

Одоогийн Хөххотын Таван суварганы сүмд байдаг чулуун дээр сийлсэн одот тэнгэрийн зургийг Мянгат урласан гэсэн таамаглал бий. Цаашилбал, 1755–1760 оны орчимд Чин гүрний газар нутгийн хэлбэр хэмжээг нарийн тогтоох ажлыг Мянгат ахалж, сүүлийн үеийн Манж Чин болон Хятадын газрын зургуудын үндэс болсон анхны газрын зургийг үйлджээ.

Мянгатын математикт оруулсан хувь нэмрийг товч дурдвал тэрээр

  • төгсгөлгүй цуваатай ажиллах (цувааг зэрэгт дэвшүүлэх, урвуу функцийг нь олох гэх мэт) геометрийн аргыг боловсруулсан,
  • өөрийн боловсруулсан аргаар хэд хэдэн шинэ цувааг нээсэн,
  • Каталаны тоонуудыг нээж, тэдгээрийг тооцох аргуудыг боловсруулсан болно.

Одоо эдгээрийг арай дэлгэрүүлж авч үзье. 1700-аад оны эхээр Францаас шашин сурталчлахаар Бээжинд ирсэн Пьер Жарту гэгч гэлэн дараах 3 цувааг Манжийн эрдэмтдэд хэлж өгч л дээ.

\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots

\displaystyle\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots

\displaystyle\frac\pi3=1+\frac{1^2}{4\cdot3!}+\frac{1^2\cdot3^3}{4^2\cdot5!}+\frac{1^2\cdot3^2\cdot5^2}{4^3\cdot7!}+\ldots

Үүний сүүлийн цуваа нь арксинусын

\displaystyle \arcsin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!x^{2n+1}}{2^{2n}(2n+1)(n!)^2}

цувааны x=\frac12 гэсэн тохиолдол болно.

Энэ 3 цувааг 1669–1676 оны хооронд Исаак Ньютон, Вильгельм Лейбниц нар нээсэн (Гэхдээ синус косинусын цувааг Энэтхэгийн математикч Мадхава 15-р зууны эхээр мэдэж байсан нь тогтоогдсон гэдгийг дурдах нь зүйтэй).

Пьер Жарту дээрх цуваанууд яг хаанаас ямар аргаар гарч ирснийг тайлбарлаж мэдэхгүй байсан. Харин Мянгат үүний учрыг олох гэж оролдож байгаад өөрийн гэсэн аргыг боловсруулж, дээрх томъёонуудыг тайлбарлаад зогсохгүй шинээр олон цуваа нээж орхисон хэрэг. Ингээд 1730 оны орчмоос эхлэн 1763-1764 онд өөд болох хүртлээ 30 гаран жил хөдөлмөрлөж, Тойргийг хэсэгчлэн хуваах, тойргийн харьцааг нарийн тооцох дөт арга нэртэй номынхоо анхны эх бичмэлийг туурвисан байна. Тэрбээр нас барахдаа номыг минь гүйцээгээрэй гэж өөрийн хүү болон шавь нартаа захиж үлдээснийг нь хүү Миншинэ ба шавь Чэнь Жишинь нар нь биелүүлж, 1774 онд дуусгасан боловч, гар бичмэл хэлбэрээр хуулагдаж явж байгаад 1839 онд л сая хэвлэгджээ. Энэ хооронд ялангуяа номынх нь эхний боть ихэд алдаршин тархаж, Чин гүрэнд «Мянгатын шавь сургууль» гэгч үүсэн тухайн гүрний дээд математикийн хөгжлийг 100 гаруй жил тодорхойлсон түүхтэй.

Ингээд 19-р зууны сүүлээр интеграл дифференциал тоолол Азид жинхэнэ утгаараа орж ирэн Мянгатын ном үндсэндээ мартагдсан ба, Өвөрмонголын багшийн их сургуулийн эрдэмтэн Луо Жианжин 1988 онд Мянгатын номыг судалснаар математикийн түүхийн зарим хэсгийг дахин бичих хэрэгтэй юм байна гэдгийг дэлхий нийтэд зарласан юм. Мянгат номондоо (зөвхөн π тооны төдийгүй, ерөнхий арксинусын цувааг оролцуулан) дээрх 3 цуваанаас гадна,

\displaystyle\arcsin^2\!x=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+2)!}x^{2n+2}

\displaystyle\sin^2\!\Big(\frac{x}2\Big)=\sum_{n=0}^\infty C_n\Big(\frac{\sin x}2\Big)^{2n+2}

\displaystyle\sin2x=2\sin x-\sum_{n=0}^\infty \frac{C_n(\sin x)^{2n+3}}{4^n}

болон сүүлийн 2-той төстэйгөөр \sin4x,\sin10x,\sin100x,\sin1000x,\sin1000x функцүүдийг (\sin x)-ийн зэргүүдэд задалсан цуваануудыг цэвэр геометр байгуулалтын аргаар яаж гаргахыг үзүүлсэн. Үүнд

\displaystyle C_n=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!},\qquad n=0,1,2,\ldots,

нь алдарт Каталаны тоонууд ба эхний хэдийг нь жагсааж бичвэл

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, \ldots

Үнэндээ эдгээр тоонуудыг Европт анх их багш Эйлер 1750-аад онд гүдгэр олон өнцөгтийг гурвалжингуудад хуваах бодлоготой холбоотойгоор оруулсан бөгөөд, «Эйлер-Зегнерийн дараалал» нэртэй байсныг нь 1960-аад оноос эхлэн «Каталаны тоонууд» гэх болсон аж. Мянгатын хувьд бол Эйлерээс 20-оод жилийн өмнө Каталаны тоонуудыг цувааны коэффициентүүд мэтээр ашигласнаар барахгүй, тэдгээрийг тооцох хэд хэдэн томъёо гаргасны зарим нь 1988 онд ч дэлхийн математикт шинэ соргог санаанууд байжээ.

Мянгатын нээсэн зарим томъёог орчин үеийн математикийн үүднээс дор тайлбарлах гэж оролдъё. Read the rest of this entry »

Leave a Comment » | Математик (ерөнхий), Түүх ба тойм | Tagged: , , , | Permalink
Posted by temur

Оддын Бүтэц ба Вириалын Теорем

February 2, 2012

Физик сонирхдог хүмүүст зориулаад оддын бүтцийн талаар товч материал бичлээ. Доорх холбоос дээр дарж үзнэ үү

Оддын Бүтэц ба Вириалын Теорем

2 Comments | Дифференциал тэгшитгэл, Математик физик | Permalink
Posted by tuguldurs

Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл – лекцийн тэмдэглэл (1,2)

January 31, 2012

Эхний 2 лекц

Дээрх холбоос дээр дарж лекцүүдийг үзнэ үү. Асуулт, шүүмж, зөвлөмж, санаа оноо, засвар гэх мэтийг сэтгэгдэл дээр үлдээнэ үү.

3 Comments | Дифференциал тэгшитгэл, Математик (ерөнхий), Математик физик | Permalink
Posted by tuguldurs

PDE 1-6.5

August 30, 2008

[Засвар 9/11/2008] Эхний 6.5н лекц. Нийт 41-43н лекц бичигдэнэ.

Засаж залруулах юм байвал хэлээрэй.

pde 1-6.5

24 Comments | Математик (ерөнхий), Математик физик, Функцийн огторгуй | Permalink
Posted by otogo

Тухайн Дифференциалт Тэгшитгэл

August 23, 2008

Эхний 3н лекцээ бичээд үзлээ. Draft гэсэн болохоор мөр илүү гарсан хэсэг нь хараар тэмдэгдлэгдсэн байгаа. Энэ hyphenation-ийг яавал хамгийн амар юм бол доо. Бас LaTeX-ийг яаж хялбараар wordpress болгох уу? Бас зарим нэг хэллэгүүд нь сонин байгаа байх, засаж сайжруулах талаар зөвлөөрэй.

pde

21 Comments | Математик (ерөнхий), Математик физик | Permalink
Posted by otogo

Шугаман хувиргалт

July 7, 2008

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Мөн адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна. Read the rest of this entry »

5 Comments | Алгебр (ерөнхий) | Tagged: , , , , , , , , , | Permalink
Posted by temur

285G, Lecture 1: Flows on Riemannian manifolds – Exercises

April 14, 2008

Exercise 1. Show that

\dot{\hbox{Riem}}_{\alpha \beta \delta}^\gamma = \frac{1}{2} g^{\gamma \sigma} ( \nabla_\alpha \nabla_\delta \dot g_{\beta \sigma} - \nabla_\alpha \nabla_\sigma \dot g_{\delta \beta} - \nabla_\beta \nabla_\delta \dot g_{\alpha \sigma} + \nabla_\beta \nabla_\sigma \dot g_{\delta \alpha} (12)

is consistent with the antisymmetry properties of the Riemann tensor, and with the Bianchi identities, as presented in the previous lecture. Read the rest of this entry »

4 Comments | Геометр (ерөнхий), Математик (ерөнхий), Метрик геометр | Tagged: , | Permalink
Posted by temur

285G, Lecture 0: Riemannian manifolds and curvature – Exercises

April 3, 2008

Exercise 1. Show that the map (X, Y) \mapsto [X,Y] endows the space \Gamma(TM) of vector fields with the structure of an abstract Lie algebra. Also establish the Leibniz rule

{}[X, fY] = (\nabla_X f) Y + f [X,Y] (5)

for all X, Y \in \Gamma(TM) and f \in C^\infty(M). \diamond Read the rest of this entry »

Leave a Comment » | Геометр (ерөнхий), Математик (ерөнхий), Метрик геометр | Permalink
Posted by otogo

Шугаман огторгуй

March 17, 2008

Дараах зүйлүүд өгөгдсөн болог:

  1. Талбар K; Энэ талбарын элементүүдийг бид цаашид \alpha,\beta гэх мэт жижиг грек үсгүүдээр тэмдэглэх ба коэффициентүүд, эсвэл скалярууд гэж нэрлэнэ.
  2. Аддитив абелийн бүлэг M; Энэ бүлгийн элементүүдийг бид энд x,y гэх мэт жижиг латин үсгүүдээр тэмдэглэх ба векторууд гэж нэрлэнэ.
  3. Скаляр \alpha\in K ба вектор x\in M бүрийн хувьд тэдгээрийн үржвэр гэж нэрлэгдэх ямар нэг вектор \alpha\cdot x\in M харгалзуулах дүрэм (\alpha, x)\mapsto\alpha\cdot x. Бид \alpha\cdot x гэхийг ихэвчлэн \alpha x гэж бичих ба энэ үржих үйлдлийг дараах аксиомуудыг хангадаг байхыг шаардана:
  • \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y (вектор нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (скаляр нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) (бүлэглэх хууль).
  • 1x=x.

Тэгвэл M бүлгийг (K талбар ба скаляраар үржих үйлдэлтэй нь хамт авч үзэж буй үед) K талбар дээрх шугаман огторгуй (өөрөөр вектор огторгуй) гэж нэрлэнэ. Бодит тоон талбар дээрх шугаман огторгуйг бодит шугаман огторгуй, комплекс тоон талбар дээрхийг нь комплекс шугаман огторгуй гэнэ. Бид цаашид зөвхөн бодит эсвэл комплекс шугаман огторгуйг авч үзэх учир дээрх тодорхойлолтыг шууд K=\mathbb{R} эсвэл K=\mathbb{C} болгоод уншсан ч болно. Гагцхүү шугаман огторгуйн скалярууд нь зөвхөн бодит тоонууд байх албагүй гэдгийг санаж байх хэрэгтэй.

Дээрх аксиомууд нь үндсэндээ скаляраар үржих үйлдлийг M дээрх абелийн бүтэц ба K дээрх цагираг бүтцийг хадгалдаг байхыг шаардана (K нь зөвхөн цагираг үед M-ийг модуль гэнэ). Read the rest of this entry »

3 Comments | Алгебр (ерөнхий) | Tagged: , , , | Permalink
Posted by temur

Компакт олонлог

February 22, 2008

X нь топологи огторгуй (бид ямар топологи ярьж байгаа нь тодорхой ойлгогдохоор үед олонлогийн топологийг нь тэмдэглэх тусгай тэмдэглэгээ оруулахгүй) ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Хэрэв \{O_\alpha\} дэд олонлогуудын бүлийн нэгдэл A-г агуулдаг (ө.х. A\subseteq\cup_\alpha O_\alpha) бол \{O_\alpha\} бүлийг A олонлогийн хучилт гэж нэрлэнэ. Хучилтын бүх элемент задгай олонлогууд бол задгай хучилт болно. Хэрэв хучилтын дэд олонлог мөн A олонлогийн хучилт болдог бол түүнийг дэд хучилт гэнэ.

Тодорхойлолт. A олонлогийн дурын задгай хучилт төгсгөлөг дэд хучилт агуулдаг бол A-г компакт олонлог (өөрөөр авсаар олонлог) гэнэ.

Жишээ. Дурын топологи огторгуйд ганц цэгээс бүтсэн олонлог авсаар олонлог болно. Бодит тоон шулуун дээр стандарт топологийн дор (0,1) задгай завсар нь компакт биш. Учир нь \{(\frac1n,1):n\in\mathbb{N}\} задгай хучилтад төгсгөлөг дэд хучилт олдохгүй. Read the rest of this entry »

10 Comments | Топологи (ерөнхий) | Tagged: , , , , | Permalink
Posted by temur

« Previous Entries
Design a site like this with WordPress.com
Get started