Шугаман хувиргалт

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Мөн адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна.

Дасгал 1. Дээрх леммыг батал.

Жишээ 2. X нь E-ийн шугаман дэд огторгуй бол натурал проекцлол \pi:E\rightarrow E/X нь шугаман хувиргалт болно. Цаашилбал дурын шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь E\stackrel{\pi}\rightarrow E/X\stackrel{t}\rightarrow F гэж задрах зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь X\subset\mathrm{ker}\,T байх явдал болно.

Хэрэв шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь инъектив ба сюръектив бол түүнийг E-ийн F дээрх (шугаман огторгуйн) изоморфизм гэнэ. Хоёр шугаман огторгуйн хооронд изоморфизм оршдог бол тэдгээрийг хоорондоо изоморфлог огторгуйнууд гэдэг. Хоорондоо изоморфлог огторгуйнууд ижил шугаман бүтэцтэй байна.

S,T:E\rightarrow F хоёр шугаман хувиргалт өгөгдсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг

(S+T)(x)=S(x)+T(x), \forall x\in E,

гэж, \alpha\in K ба T-ийн үржвэрийг

(\alpha T)(x)=\alpha T(x), \forall x\in E,

гэж тодорхойлъё. Тэгвэл E-ээс F рүү буулгасан бүх шугаман хувиргалтуудын олонлог L(E,F) нь дээрх үйлдлүүдийн хувьд K дээрх шугаман огторгуй болно. Бид L(E,K) огторгуйг E-ийн (алгебрын) хосмог огторгуй гээд E^*=L(E,K) гэж тэмдэглэнэ. Энэ хосмог огторгуйн элементүүдийг E дээрх шугаман хэлбэрүүд (эсвэл шугаман функционалиуд) гэж ярьна.

Одоо E,F ба G нь K дээрх шугаман огторгуйнууд, T:E\rightarrow F ба S:F\rightarrow G нь шугаман хувиргалтууд болог. Тэгвэл ST үржвэрийг композиц ашиглан ST=S\circ T:E\rightarrow G гэж тодорхойлно. S ба T-ийн композиц (буюу давхарлалт) нь

(S\circ T)(x)=S(T(x)), \forall x\in E,

гэж тодорхойлогддогийг санавал шугаман хувиргалтуудын үржвэрийн дараах чанаруудыг (хэрэгтэй бүх үржвэрүүд нь тодорхойлогдсон үед) хялбархан баталж болно:

  1. R(ST)=(RS)T,
  2. R(S+T)=RS+RT; (R+S)T=RT+ST,
  3. \alpha (ST) = (\alpha S)T = S(\alpha T).

Хэрэв вектор огторгуйд дээрх 3 нөхцлийг хангахаар үржих үйлдэл тодорхойлгогдсон бол түүнийг (шугаман) ассоциатив алгебр гэдэг. Алгебрын үржих үйлдэл нь нэгжтэй бол түүнийг нэгжтэй (эсвэл унитал) алгебр гэнэ. Алгебрын элементүүд урвуутай байх албагүй.

Тэгэхээр E дээрх бүх шугаман хувиргалтуудын огторгуй L(E)=L(E,E) нь шугаман ассоциатив алгебр болох нь. Адилтгал хувиргалт композиц үржвэрийн хувьд нэгж учир энэ нь нэгжтэй алгебр. T\in L(E) нь урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{im}\,T=E ба \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал болно.

Дээр S ба T-ийн композицийг бид E\stackrel{T}\rightarrow F\stackrel{S}\rightarrow G\,=\,E\stackrel{S\circ T}\rightarrow G гэж тодорхойлсон байгаа. Энд S нь

S_*:T\mapsto S\circ T:L(E,F)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлж байна. S_*T=S\circ T элементийг T-ийн S-ийн дагуух түлхлэг гэж нэрлэдэг. Нөгөө талаас, T нь

T^*:S\mapsto S\circ T:L(F,G)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлно. T^*S=S\circ T элементийг S-ийн T дээрх татлага гэж нэрлэдэг. S_* ба T^* буулгалтуудыг шугаман болохыг хялбархан харуулж болно.

Татлагын тодорхойлолтонд G=K гэж авснаар T^*:L(F,K)\rightarrow L(E,K) буюу T^*:F^*\rightarrow E^* байна. Өөрөөр хэлбэл T:E\rightarrow F шугаман хувиргалт болгоны хувьд T^*:F^*\rightarrow E^* гэсэн шугаман хувиргалт харгалзуулж болно. Энэ T^*T-ийн хосмог (эсвэл хөрвүүлсэн) хувиргалт гэдэг.

5 Responses to Шугаман хувиргалт

  1. gamgaa says:

    4.

    Sain uu. Asuuh yum baina. Shugaman Algebr dunguj uzej ehelj baigaa bolohoor zarim neg tun engiin baij boloh yumaa sain oilgodoggui ee.

    thm: U, V ni tus bur n bolon m zergiin vector ogtorgui bolog. edgeer ogtorgui tus buriin base-g {u_1, u_2, …,u_n}, {v_1, v_2,…,v_m} gej todorhoilj orhiy. ene uyed linear mapping(mongoloor yu gedeg yum boldoo) f:U->V -nii huvid f(u_1, u_2, …,u_n)=(v_1, v_2,…,v_m)A geh nuhtsuliig hangah (m,n) hemjeest A matrix hargalzana.
    Mun esregeeree (m,n) hemjeest A matrix-n huvid linear mapping f:U->V hargalzana.

    A-g f-n matrix representation gene.

    za deerh theorem-g bodlogond sain ashiglaj chaddaggui ee.
    jishee ni
    base {e_1, e_2, e_3, e_4} -d hargalzan (4,4) hemjeestei neg matrix todorhoilogdood ugugdchihsun baina. ene uyed {e_1+e_2, e_2+e_3, e_2-e_4, e_2+e_4} gesen base-d hargalzan matrix representation-g yaj oloh ve? (end e_k gedeg ni k dehi component ni 1 busad ni 0 baih vector)

    uul ni hamgiin l engiin zuil baih. daanch theoremoo nariin uhaj oilgoj chadahgui baina uu. neg l burheg baina.

    Post a Comment

  2. t8m8r says:

    Векторын координатуудыг нэг сууриас нөгөө суурьт хувиргахыг координатуудаас тогтсон векторыг (зөвхөн уг сууриудаас хамаарсан) матрицаар үржүүлэх үйлдлээр илэрхийлж болно. Дурын шугаман хувиргалтын хоёр өөр суурь дахь матрицуудийн хооронд энэ координат хувиргалтын матрицаас хамаарсан холбоо бий. Оролдож үзээд бодолтоо энд бичээрэй.

  3. gamgaa says:

    Aan. ene minii unshij baigaa nomon deer bichsen baisan bichleg busad nomon deer baisan bichlegtei zuruud tolgoi ergeed baisan bainalee.
    minii oilgosnoor hervee {e_1, e_2, e_3, e_4} suurias {e_1+e_2, e_2+e_3, e_2-e_4, e_2+e_4} suuri luu horvuuleh matrix-g P gej temdegley.
    ene uyed barag shuud {e_1+e_2, e_2+e_3, e_2-e_4, e_2+e_4} suurit hargalzah matrix ni PxAxP^(-1) boloh yum shig baina zov uu..?

  4. t8m8r says:

    Тиймэрхүү юм байгаа. P яг ямар матриц байна сайн шалгаарай. Зарим номон дээр урвууг нь шилжилтийн матриц гээд явж байж мэднэ.

  5. Hurricane says:

    T.G sain

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: