Компакт олонлог

X нь топологи огторгуй (бид ямар топологи ярьж байгаа нь тодорхой ойлгогдохоор үед олонлогийн топологийг нь тэмдэглэх тусгай тэмдэглэгээ оруулахгүй) ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Хэрэв \{O_\alpha\} дэд олонлогуудын бүлийн нэгдэл A-г агуулдаг (ө.х. A\subseteq\cup_\alpha O_\alpha) бол \{O_\alpha\} бүлийг A олонлогийн хучилт гэж нэрлэнэ. Хучилтын бүх элемент задгай олонлогууд бол задгай хучилт болно. Хэрэв хучилтын дэд олонлог мөн A олонлогийн хучилт болдог бол түүнийг дэд хучилт гэнэ.

Тодорхойлолт. A олонлогийн дурын задгай хучилт төгсгөлөг дэд хучилт агуулдаг бол Aкомпакт олонлог (өөрөөр авсаар олонлог) гэнэ.

Жишээ. Дурын топологи огторгуйд ганц цэгээс бүтсэн олонлог авсаар олонлог болно. Бодит тоон шулуун дээр стандарт топологийн дор (0,1) задгай завсар нь компакт биш. Учир нь \{(\frac1n,1):n\in\mathbb{N}\} задгай хучилтад төгсгөлөг дэд хучилт олдохгүй.

Гейне-Борелийн теоремийг баталгаагүйгээр дурдъя:

Теорем 1. (Гейне-Борель). Бодит тоон битүү завсар {}[a,b] нь (стандарт топологид) компакт.

Топологи огторгуй (өөрийнхөө дэд олонлог мэтээр) компакт бол түүнийг компакт огторгуй гэнэ.

Теорем 2. Компакт топологи огторгуйн битүү дэд олонлог компакт байна.

Баталгаа. X нь компакт топологи огторгуй, B нь түүний битүү дэд олонлог болог. Бид B-ийн дурын задгай хучилт \{O_\alpha\} төгсгөлөг дэд хучилт агуулна гэж харуулах ёстой. B олонлогийн гүйцээлт нь задгай, иймд \{O_\alpha\}\cup\{X\setminus B\} нь X-н задгай хучилт болно. Одоо X компакт гэдгээс төгсгөлөг дэд хучилт олдох ба энэ дэд хучилтын \{O_\alpha\}-тай огтлолцох огтлолцол B-ийн хучилт болох нь тодорхой.

Теорем 3. Хаусдорф огторгуйн компакт дэд олонлог битүү байна.

Баталгаа. X нь Хаусдорф огторгуй, B нь түүний компакт дэд олонлог болог. Бид дурын x\in X\setminus B цэгийн хувьд X\setminus B дотор бүхлээрээ орших орчин олдоно (ө.х. B-ийн гүйцээлтийг задгай) гэж харуулъя. Хаусдорф огторгуйн тодорхойлолт ёсоор дурын y\in B цэгийн хувьд x\in U_y ба y\in V_y байх хоорондоо огтлолцдоггүй хоёр задгай олонлог U_y,V_y\subset X олдоно. Эндээс \{V_y:y\in B\} нь B-ийн задгай хучилт болох нь тодорхой ба төгсгөлөг дэд хучилт агуулна. Өөрөөр хэлбэл \cup_{y\in A}V_y\supset B байх төгсгөлөг олонлог A\subset B олдоно. Одоо N=\cap_{y\in A}U_y\ni x нь X\setminus B дотор бүхлээрээ орших орчин болохыг харж болно.

Бодит тоон дэд олонлог A\subset\mathbb{R} нь хэрэв A\subset(-x,x) байх x\in\mathbb{R} олддог бол зааглагдсан гэгддэгийг сануулъя.

Мөрдлөгөө. Бодит тоон дэд олонлог авсаар байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь уг олонлог битүү ба зааглагдсан байх явдал болно.

Дасгал 1. Мөрдлөгөөг батал.

Дасгал 2. X нь топологи огторгуй ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Тэгвэл “X дотор A компакт” гэдэг нь “X-ээс уламжилж авсан дэд огторгуйн топологи дор A компакт огторгуй” гэдэгтэй эквивалент гэж үзүүл. (Уламжлагдсан топологид задгай олонлог X огторгуйн топологид задгай байх албагүй; уламжлагдсан топологийн тодорхойлолтыг үз.)

Бодлого. X ба Y нь компакт топологи огторгуйнууд бол X\times Y нь үржвэр топологийн дор компакт гэж харуул.

10 Responses to Компакт олонлог

  1. leuffi says:

    компакт гэхийг авсаар юм уу авсаархан гэж орчуулбал ямар вэ?

  2. t8m8r says:

    Нээрээ тэгж болох юм байна. Гэхдээ компакт гээд хэвшчихсэн юм биш үү. Ядаж эхэндээ “авсаар (буюу компакт) олонлог” гэх маягаар явбал ямар вэ. Энд юу ч гэсэн заримдаа авсаар гэдгийг хэрэглэчихлээ.

  3. ursa says:

    нэгэнт хэрэглээд заншчихсан нэр томъёог орчуулах гээд байх шаардалгагүй л болов уу. угаасаа хэцүү, бас үр ашиг муутай. яг утганд нь таарч орчуулах үг байхгүй болохоор шинэ үг зохиох, эсвэл байгаа үгэнд нэмэлт шинэ утга оноох хэрэгтэй болчихно. аль аль нь л үр дүн сайтай арга биш гэж бодож байна.
    компакт-г компакт-р нь хэрэглэсэн нь дээр байхаа.

  4. leuffi says:

    авсаар гэж уг нь утгын хувьд яг таарч байгаа юм биш үү? ийм сайхан монгол үг байсаар байтал заавал компакт гэж гадаад үг хэрэглэх шаардлага байна уу?

  5. Mergen says:

    Iimerhuu analiz-iin lects-d neg semester suusnaa sanaj baina. Yag iim daraallaar topology, compactness geed l ehleed. Gehdee uunees tsaash sonirholgui bolchdiin.

  6. t8m8r says:

    Мэргээн семинартаа сайн оролцоорой. Сонирхолгүй болохгүй шүү🙂

  7. Mergen says:

    hehe…
    ene blog-iin uchriig ni sain olohgui l yavj baina.
    seminar-taa suuna gej yag yaahiig heleed baina?

  8. t8m8r says:

    Зүгээр уншаад асуух юмаа асуугаад маргах дээрээ маргаад идэвхтэй байхыг л хэлж байгаа ухаантай юм. Санаа нь бол энэ хэн нэгний хувийн блог биш олон эзэнтэй, хүссэн хүн математикийн талаар юм бичиж болдог блог юм. Тэгээд юм бичсэн хүнийг нь “семинар явуулж байна” гэж яриад байгаа юм🙂

  9. otogo says:

    Гейне-Борель-ийн баталгаа:
    {}[a, c] хэрчмийг бүрхдэг төгсгөлөг дэд хучилт олддог бүх c \in [a, b]-ийн олонлогыг C гэе. Тэгвэл a \in C учираас $C$ нь хоосон биш бөгөөд C \subseteq [a, b] учираас дээд хязгаартай. Бодит тоон олонлог нь гүйцэд эрэмбэтэй тул s = \sup C оршин байна. Хучилт маань задгай хучилт болохыг ашиглан s = b = \max C болохыг хялбархан харж болно (үзүүл!). Теорем батлагдав.

  10. t8m8r says:

    Баярлалаа.

    Дөрвөлжин хаалтыг өмнөө хоёр угалзан хаалттайгаар {}[ гэж бичвэл болж байсан. Яагаад гарахгүй байгаа юм бүү мэд.

    Бичлэг засъя гэвэл админ эрхтэйгээр орж байгаад засч болох байх шүү.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: