Шугаман огторгуй

Дараах зүйлүүд өгөгдсөн болог:

  1. Талбар K; Энэ талбарын элементүүдийг бид цаашид \alpha,\beta гэх мэт жижиг грек үсгүүдээр тэмдэглэх ба коэффициентүүд, эсвэл скалярууд гэж нэрлэнэ.
  2. Аддитив абелийн бүлэг M; Энэ бүлгийн элементүүдийг бид энд x,y гэх мэт жижиг латин үсгүүдээр тэмдэглэх ба векторууд гэж нэрлэнэ.
  3. Скаляр \alpha\in K ба вектор x\in M бүрийн хувьд тэдгээрийн үржвэр гэж нэрлэгдэх ямар нэг вектор \alpha\cdot x\in M харгалзуулах дүрэм (\alpha, x)\mapsto\alpha\cdot x. Бид \alpha\cdot x гэхийг ихэвчлэн \alpha x гэж бичих ба энэ үржих үйлдлийг дараах аксиомуудыг хангадаг байхыг шаардана:
  • \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y (вектор нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (скаляр нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) (бүлэглэх хууль).
  • 1x=x.

Тэгвэл M бүлгийг (K талбар ба скаляраар үржих үйлдэлтэй нь хамт авч үзэж буй үед) K талбар дээрх шугаман огторгуй (өөрөөр вектор огторгуй) гэж нэрлэнэ. Бодит тоон талбар дээрх шугаман огторгуйг бодит шугаман огторгуй, комплекс тоон талбар дээрхийг нь комплекс шугаман огторгуй гэнэ. Бид цаашид зөвхөн бодит эсвэл комплекс шугаман огторгуйг авч үзэх учир дээрх тодорхойлолтыг шууд K=\mathbb{R} эсвэл K=\mathbb{C} болгоод уншсан ч болно. Гагцхүү шугаман огторгуйн скалярууд нь зөвхөн бодит тоонууд байх албагүй гэдгийг санаж байх хэрэгтэй.

Дээрх аксиомууд нь үндсэндээ скаляраар үржих үйлдлийг M дээрх абелийн бүтэц ба K дээрх цагираг бүтцийг хадгалдаг байхыг шаардана (K нь зөвхөн цагираг үед M-ийг модуль гэнэ).

Жишээ 1. Бодит тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгон авбал \mathbb{R} нь бодит шугаман огторгуй болно. Үүнтэй төстэйгөөр \mathbb{C} нь комплекс шугаман огторгуй болно.

Жишээ 2. Комплекс тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, комплекс тоог бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгож авснаар \mathbb{C} нь бодит шугаман огторгуй болно. Энэ огторгуй нь дээрх жишээн дэх комплекс вектор огторгуйгаас ялгаатай.

Жишээ 3. \mathbb{R}^n=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n):\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb{R}\} нь n урттай бодит тоон дарааллуудын олонлог болог. Хэрэв x=(\xi_1,\ldots,\xi_n), y=(\eta_1,\ldots,\eta_n), ба \alpha\in\mathbb{R} бол \mathbb{R}^n дээрх вектор нийлбэр, тэг вектор, эсрэг вектор, скаляр үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлъё:

  • x+y=(\xi_1+\eta_1,\ldots,\xi_n+\eta_n)
  • 0=(0,\ldots,0)
  • -x=(-\xi_1,\ldots,-\xi_n)
  • \alpha x=(\alpha\xi_1,\ldots,\alpha\xi_n).

\mathbb{R}^n нь бодит шугаман огторгуй болохыг амархан шалгаж болно. Мөн үүнтэй төстэйгөөр комплекс шугаман огторгуй \mathbb{C}^n-ийг тодорхойлно. Үүнчлэн, дурын талбар K өгөгдсөн үед түүн дээрх шугаман огторгуй K^n-ийг тодорхойлж болно.

Дээрх жишээнд тэг вектор (0\in M) ба тэгийн тоо (0\in\mathbb{R}) ижил тэмдэглэгдэж байгаа боловч ерөнхийдөө вектор уу тоо юу гэдэг нь хаана хэрэглэгдэж байгаагаас нь ойлгомжтой байдаг. Хэрэв ойлгомжтой биш байж мэдэхээр бол ямар нэг байдлаар ялгаж өгөх хэрэгтэй.

Жишээ 4. A нь ямар нэг олонлог, \mathbb{R}^A нь A дээр тодорхойлогдсон бодит утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог болог. Энэ олонлог дээр шугаман огторгуйн бүтэц дараах байдлаар оруулъя:

  • {}[x+y](a)=x(a)+y(a), x,y\in\mathbb{R}^A, a\in A (функцүүдийн нийлбэр)
  • 0(a)=0, a\in A (тэг функц)
  • {}[-x](a)=-x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A (эсрэг функц)
  • {}[\alpha x](a)=\alpha x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A, \alpha\in\mathbb{R} (функцийг тоогоор үржүүлэх)

Эдгээр үйлдлүүдийн хувьд \mathbb{R}^A нь бодит шугаман огторгуй болохыг хялбархан баталж болно. Мөн \mathbb{R}^n нь үүний A=\{1,\ldots,n\} байх нэг тухайн тохиолдол болохыг харж болно.

Жишээ 5. \mathbb{R} дээрх бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог P нь Жишээ 4-т тодорхойлсонтой адил үйлдлүүдийн хувьд шугаман огторгуй болно. Зэрэг нь n-ээс хэтрэхгүй бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог P_n мөн шугаман огторгуй болно.

Дасгал 1. P-г шугаман огторгуй гэж харуул. Мөн P_n-ийг.

Дасгал 2. K нь талбар ба M нь түүн дээрх шугаман огторгуй байг. Мөн A нь ямар нэг олонлог, M^A нь A дээр тодорхойлогдсон M-ээс утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог бол M^AK дээрх шугаман огторгуй болгох бүтэц тодорхойл. Өөрөөр хэлбэл M^A дээр аддитив абелийн бүлгийн бүтэц, мөн шугаман огторгуйн аксиомуудыг хангадаг байхаар K-ийн элементүүдээр үржих үйлэл оруул.

Дасгал 3. x ба y нь векторууд ба \alpha нь скаляр бол дараах чанаруудыг батал.

  • 0+x=x
  • -0=0
  • \alpha\cdot 0=0
  • 0\cdot x=0
  • Хэрэв \alpha x=0 бол \alpha=0 эсвэл x=0 байна (эсвэл хоёул биелнэ).
  • -x=(-1)x

Хэрэв шугаман огторгуйн дэд олонлог мөн (эх огторгуйтайгаа ижил скаляр ба ижил скаляраар үржих үйлдлийн хувьд) шугаман огторгуй болдог бол түүнийг шугаман дэд огторгуй гэдэг. Жишээлбэл, P_n нь P-ийн шугаман дэд огторгуй болно. Шугаман огторгуйн аливаа дэд олонлогийг шугаман дэд огторгуй эсэхийг шалгахын тулд зөвхөн уг дэд олонлог нь (эх огторгуйнхаа абелийн бүтцийн хувьд) дэд бүлэг ба скаляраар үржих үйлдлийн хувьд битүү эсэхийг нь шалгахад хангалттай. Үүнийг арай тодруулъя.

Лемм. M нь K талбар дээрх шугаман огторгуй ба B\subset M болог. Тэгвэл B нь M-ийн шугаман дэд огторгуй болох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дараах хоёр зэрэг хангагдаж байх явдал болно:

  1. x,y\in B бол x-y\in B;
  2. \alpha\in K ба x\in B бол \alpha x\in B.

Дасгал 4. Дээрх леммыг батал.

Дасгал 5. Шугаман огторгуй P ба дараах нөхцлийг хангах бүх олон гишүүнт функц p-ээс тогтох түүний дэд олонлог V-г авч үзье.

(а) p-ийн зэрэг нь 3.

(б) 2p(0)=p(1).

(в) 0\leq t\leq 1 бол p(t)\geq0.

(г) Бүх t-ийн хувьд p(t)=p(1-t).

Аль тохиолдолд нь V шугаман дэд огторгуй болох вэ?

3 Responses to Шугаман огторгуй

  1. leuffi says:

    Шугаман огторгуйн гол ач холбогдол нь шугаман функц тодорхойлох боломж ѳгдѳгт орших болов уу (топологи нь тасралтгүй функц тодорхойлоход хэрэгтэйн адилаар).

    Жишээ болгож Ax=b,\: x \in F^n, b \in F^m гэсэн шугаман тэгшитгэл авч үзье. Энд

    (а) энэ тэгшитгэл шийдтэй юу?
    (б) шийд нь цор ганц уу?
    (в) шийдийг нь яаж олох вэ?

    гэсэн асуултууд тавигдана. f_A: x \mapsto Ax гэсэн функцийг авч үзвэл, дээрх асуултуудийг энэ функцийг ашиглан хялбархан бичиж болно. Бүх b-г зэрэг авч үзвэл f_A нь

    (а’) surjective үү?
    (б’) injective үү?
    (в’) f_A-ийн урвууг яаж олох вэ?

    гэсэн асуултууд гарч ирнэ. Энэ нь халит харахад (а, б, в) ээс ялгагдах зүйлгүй, ач холбогдолгүй мэт харагдах боловч A гэсэн тооны цуглуулганаас f_A гэсэн функцруу шилжсэний ачаар функцтай холбоотой бусад ойлголтуудыг ашиглах боломжтой болно. Жишээ нь урвуу буулгалт, энийг (в’)-д ашигласан байгаа. Мэдээжийн хэрэг урвуу буулгалтын тухай ярьж чадаж байгаа нь функцын composition гэсэн ойлголт байгаа учраас.

    Гэхдээ, бидэнд ерѳнхий функцын урвууг олдог алгоритм байхгүй учраас үнэхээр давуу талтай гэж үү? Энд чухал болох нь бид ерѳнхий функцын тухай яриагүй, f_A гэсэн хэлбэртэй функцуудын тухай ярьж байгаа явдал юм:

    Функц f: F^n \to F^m нь f_A хэлбэртэй байх зайлшгүй бѳгѳѳд хүрэлцээтэй нѳхцѳл нь F^n, F^m-ийн стандарт шугаман огторгуйн структурын хувьд шугаман байх явдал юм.

    Эндээс f_A^{-1} нь оршин байдаг бол мѳн шугаман болох нь харагдах тул энэ урвууг ерѳнхий функцуудын дотроос биш шугаман функцуудын дотроос хайхад хангалттай.

    Жич: Англиар бичсэн үгнүүдийг Монголоор юу гэдэг билээ?

  2. t8m8r says:

    суръектив, инъектив эсвэл “… дээр буулгасан буулгалт”, “харилцан нэг утгатай буулгалт” гэдэг байх.

  3. t8m8r says:

    composition – композиц, давхарлалт

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: