гомеоморфизм | Мянгатын семинар

Тасралтгүй буулгалт ба гомеоморфизм

February 16, 2008

Тасралтгүй буулгалт нь хар үгээр хэлбэл хоорондоо ойрхон цэгүүдийг хоорондоо ойрхон цэгүүдэд буулгадаг буулгалт юм.

$(X,\mathfrak{T}_X)$ ба $(Y,\mathfrak{T}_Y)$ топологи огторгуйнууд өгөгдсөн үед $f:X\to Y$ буулгалт $\mathcal{U}\in\mathfrak{T}_Y$ болгоны хувьд $f^{-1}(\mathcal{U})\equiv\{x\in X:f(x)\in\mathcal{U}\}\in\mathfrak{T}_X$ байдаг бол $f$ -ийг тасралтгүй буулгалт гэнэ. Өөрөөр хэлбэл тасралтгүй буулгалт нь задгай олонлогийн эх дүрийг задгай байлгадаг буулгалт болно.

Жишээ. Тасралтгүй функцийн дээрх тодорхойлолт тасралтгүйн тухай бидний ердийн төсөөлөлтэй таарч байгаа эсэхийг сонирхъё. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функцийг

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x,&x<0,\\1+x,&x\geq0,\end{array}\right.$

гэж тодорхойлъё. Бид ердийн анализийн хичээлээс уг функц $x=0$ цэг дээр “тасралттай” гэж мэднэ. Одоо $\mathbb{R}$ дээрх стандарт топологийг авч үзье. Хэрэв $(2,3)$ задгай олонлогийн эх дүрийг сонирхвол $f^{-1}((2,3))=(1,2)$ буюу задгай олонлог байна. Тэгэхээр энэ жишээ функцийг тасралтгүй биш гэж харуулж чадсангүй. Харин $(0,2)$ олонлогийн эх дүрийг сонирхвол $f^{-1}((0,2))=[0,1)$ болж, энэ нь задгай олонлог биш тул $f$ нь дээрх тодорхойлолтоор тасралтгүй байж чадахгүй болж таарлаа. Read the rest of this entry »