Тасралтгүй буулгалт ба гомеоморфизм

Тасралтгүй буулгалт нь хар үгээр хэлбэл хоорондоо ойрхон цэгүүдийг хоорондоо ойрхон цэгүүдэд буулгадаг буулгалт юм.

(X,\mathfrak{T}_X) ба (Y,\mathfrak{T}_Y) топологи огторгуйнууд өгөгдсөн үед f:X\to Y буулгалт \mathcal{U}\in\mathfrak{T}_Y болгоны хувьд f^{-1}(\mathcal{U})\equiv\{x\in X:f(x)\in\mathcal{U}\}\in\mathfrak{T}_X байдаг бол f-ийг тасралтгүй буулгалт гэнэ. Өөрөөр хэлбэл тасралтгүй буулгалт нь задгай олонлогийн эх дүрийг задгай байлгадаг буулгалт болно.

Жишээ. Тасралтгүй функцийн дээрх тодорхойлолт тасралтгүйн тухай бидний ердийн төсөөлөлтэй таарч байгаа эсэхийг сонирхъё. f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} функцийг

f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x,&x<0,\\1+x,&x\geq0,\end{array}\right.

гэж тодорхойлъё. Бид ердийн анализийн хичээлээс уг функц x=0 цэг дээр “тасралттай” гэж мэднэ. Одоо \mathbb{R} дээрх стандарт топологийг авч үзье. Хэрэв (2,3) задгай олонлогийн эх дүрийг сонирхвол f^{-1}((2,3))=(1,2) буюу задгай олонлог байна. Тэгэхээр энэ жишээ функцийг тасралтгүй биш гэж харуулж чадсангүй. Харин (0,2) олонлогийн эх дүрийг сонирхвол f^{-1}((0,2))=[0,1) болж, энэ нь задгай олонлог биш тул f нь дээрх тодорхойлолтоор тасралтгүй байж чадахгүй болж таарлаа.

Дасгал 1. Битүү олонлогийн эх дүрийг битүү байлгадаг буулгалт тасралтгүй байна гэж батал.

Дасгал 2. \mathbb{R} дээрх стандарт топологийн хувьд тасралтгүй функцийн дээрх тодорхойлолт бидний сайн мэдэх \varepsilon-\delta тодорхойлолттой эквивалент гэж харуул.

Дасгал 3. Хэрэв тасралтгүй функцийг “задгай олонлогийг задгай олонлогт буулгадаг буулгалт” гэж тодорхойлбол энэ тодорхойлолт ердийн ойлголтоос зөрнө гэж харуул. (f(x)=x^2 функц (-a,a) завсрыг ямар олонлогт буулгахыг шинж.)

Өмнөх дасгалд тодорхойлсон шиг шинж чанартай (тодруулбал задгай олонлогийг задгай олонлогт буулгадаг) буулгалтыг үнэндээ задгай буулгалт гэж нэрлэдэг. Үүнтэй төстэйгөөр битүү олонлогуудыг битүү олонлогуудад буулгадаг буулгалтыг битүү буулгалт гэдэг.

Хэрэв f нь тасралтгүй, биектив, мөн түүний урвуу f^{-1}:Y\to X нь тасралтгүй бол f-ийг гомеоморфизм гэнэ. Тасралтгүй биектив буулгалт гомеоморфизм байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь уг буулгалт задгай байх явдал болно. Хэрэв топологи огторгуйнуудын хооронд гомеоморфизм оршиж байвал тэдгээрийг хоорондоо гомеоморфлог гэх ба X\eqsim Y гэж бичдэг. Ерөнхий топологит гомеоморфизмаар хадгалагддаг шинж чанаруудыг судална. Өөрөөр хэлбэл хоорондоо гомеоморфлог хоёр огторгуй топологийн хувьд нэг зүйл юм. Эндээс топологийг (хязгааргүй) уян резинээр хийсэн дүрсийн судлал гэж ярих явдал байдаг.

Дасгал 4. x\in\mathbb{R}^n ба r>0 үед задгай бөмбөрцөг B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^n:|y-x|<r\} нь \mathbb{R}^n-тэй гомеоморфлог гэж батал.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: