Цэгийн орчин ба Хаусдорф огторгуй

(X,\mathfrak{T}) нь топологи огторгуй болог. Тэгвэл x\in X цэгийн орчин гэдэгт x\in U байх задгай олонлог U-г агуулсан X-ийн дэд олонлогийг ойлгоно. Өөрөөр хэлбэл x\in U\in\mathfrak{T} ба U\subset N\subset X байх N олонлогийг x цэгийн орчин гэнэ. (Тухайлбал орчин нь задгай олонлог байх албагүй.)

Жишээ. \mathbb{R} олонлогийг стандарт топологитой нь авч үзье. Тэгвэл {}[0,1] хэрчим нь дурын x\in(0,1) цэгийн орчин болно.

Жишээ. Дорх зургуудад \mathbb{R}^2 дээрх байдлыг дүрсэлжээ. Эхний зурагт V нь p цэгийг агуулсан задгай дугуйг агуулах учир p цэгийн орчин болно. Хоёрдахь зурагт хэрэв V нь тэгш өнцөгт бол аль ч оройнхоо орчин болж чадахгүй гэдгийг дүрсэлж үзүүлсэн байна. (Википедиа дээрээс авсан зургууд)

neighborhood_illust1.pngneighborhood_illust2.png

(X,\mathfrak{T}) топологи огторуйн ялгаатай хоёр цэг x,y\in X, x\neq y, болгоны хувьд x\in U, y\in V, ба U\cap V=\varnothing байх U, V хоёр задгай олонлог олддог бол X-ийг Хаусдорф огторгуй гэнэ. (Энэ тодорхойлолтод задгай олонлог гэдгийг орчин гэдгээр сольж болох нь ойлгомжтой.) Хаусдорф шинж нь топологи огторгуйн цэгүүд хоорондоо хэр зэрэг “тусгаар” оршихыг заадаг ялгарлын аксиом юм. Үүнээс өөр олон ялгарлын аксиом байдаг боловч бидэнд (ө.х. функцийн огторгуйнуудын тухай ярихад) нэг их хэрэг болохгүй.

hausdorff_spacesvg.pngЭнэ зураг дээр x ба y цэгүүдийг агуулсан хоорондоо огтололцдоггүй хоёр дугуйг хавтгай дээр яаж байгуулахыг дүрсэлсэн байна.

Дасгал 1. \mathbb{R}^n нь стандарт топологитойгоо Хаусдорф огторгуй үүсгэнэ гэж харуул.

Дасгал 2. X=\{a,b,c,d\} ба U_0=\varnothing, U_1=\{a\}, U_2=\{a,b\}, U_3=X болог. Тэгвэл \mathfrak{T}=\{U_0,U_1,U_2,U_3\} нь X дээр топологи тодорхойлох ба (X,\mathfrak{T}) нь Хаусдорф биш гэж харуул.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: