Топологи огторгуй

Юуны өмнө топологи огторгуйн талаар анхан шатны ойлголтоо сэргээцгээе. Топологи огторгуй нь үнэндээ (“топологи” хэмээгдэх) тодорхой бүтэц бүхий олонлог бөгөөд хар үгээр хэлбэл олонлог дээрх топологи нь уг олонлогийн аль элементүүд бие биедээ “хязгааргүй ойрхон” бэ гэдгийг зааж өгдөг. Ингэснээр дарааллын хязгаар, тасралтгүй функц гэх мэт ойлголтуудыг өргөтгөн тодорхойлох боломжтой болно. Топологи гэдэг нь бодит (болон комплекс) тоон дарааллын хязгаар, мөн функцийн хязгаар зэргийг тодорхойлоход шаардагдаж буй зөвхөн тэр шинж чанаруудыг ялган авч хийсвэрлэн аксиомчилсан бүтэц гэж ойлгож болно. Тэгэхээр жирийн бодит тоон шулууны “топологи” нь ерөнхий топологийн шинж чанаруудыг хангадаг зөвхөн нэг жишээ топологи болж хувирна. Эхлэлийн цэг нь хэт ерөнхий мэт байж болох ч топологийн тухай маш баялаг онол босгож болдог. Топологи нь өнгөрсөн зуунд маш хүчтэй хөгжсөн ба өнөөдөр топологитой холбоогүй, түүнийг хэрэглэдэггүй математикийн салбар олоход хэцүү болжээ. Мэдээж бодит тоон шулуун дээрхээс өөр “хэрэгцээтэй” топологи байдаггүйсэн бол топологийн онолыг хөгжүүлэх нь төдий л сонирхолтой бус байхсан. Бид сүүлд функцүүдийн олонлогууд дээрх топологиудыг оролцуулан маш олон жишээ авч үзнэ. Одоо илүү үгээ цэглээд математик руугаа оръё.

Хэрэв $X$ олонлогийн дэд олонлогуудын олонлог $\mathfrak{T}$ дараах нөхцлүүдийг хангадаг бол $\mathfrak{T}$ -г $X$ дээрх топологи гэнэ:

$\varnothing$ ба $X$ нь $\mathfrak{T}$ -д агуулагддаг;
$\mathfrak{T}$ дэх дурын олонлогуудын нэгдэл $\mathfrak{T}$ дотроо байдаг;
$\mathfrak{T}$ дэх төгсгөлөг тооны олонлогуудын огтлолцол $\mathfrak{T}$ дотроо байдаг.

Хэрэв $\mathfrak{T}$ нь $X$ дээрх топологи бол $(X,\mathfrak{T})$ хосыг топологи огторгуй, $\mathfrak{T}$ -ийн элементүүдийг (эдгээр нь $X$-ийн дэд олонлогууд байхыг бид мэднэ) задгай олонлогууд гэж ярьна (яагаад ингэж нэрлэсэн нь дор Евклидийн тодологиын жишээнээс тодорхой болно). Задгай олонлогийн гүйцээлтийг битүү олонлог гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, $W\subset X$ нь $X\setminus W\in\mathfrak{T}$ үед битүү байна. Топологи огторгуйн бүх битүү олонлогуудын олонлог нь дээрх аксиомуудтай хосмог аксиомуудыг хангана. Тухайлбал, дурын битүү олонлогуудын огтлолцол битүү байх ба төгсгөлөг тооны битүү олонлогуудын нэгдэл битүү байна

Ямар нэг дэд олонлог нэгэн зэрэг задгай ба битүү (жишээ нь хоосон олонлог ба $X$ өөрөө), эсвэл задгай ба битүүгийн аль нь ч биш байж болно гэдгийг анхаар. Хэрэв $X=A\cup B$ бөгөөд $A\cap B=\varnothing$ байх $A$ , $B$ задгай олонлогууд олддоггүй бол $(X,\mathfrak{T})$ -г холбоост огторгуй гэнэ. $X$ нь холбоост байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь хоосон олонлог ба $X$ -ээс өөр нэгэн зэрэг задгай ба битүү байдаг дэд олонлог байхгүй байх явдал юм.

$T_1$ ба $T_2$ гэсэн хоёр топологи $X$ дээр тодорхойлогдсон ба $T_1\subseteq T_2$ гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл $T_1$ -д задгай хэмээгддэг бүх олонлог $T_2$ -т мөн задгай хэмээгдэнэ гэсэн үг. Тэгвэл бид $T_1$ нь $T_2$ -оос “бүдүүн”, харин $T_2$ нь $T_1$ -ээс “нарийн” топологи гэж ярьна. Энэ нь $X$ дээрх бүх топологиудын олонлог дээр хэсэгчилсэн эрэмбэ тогтооно.

Жишээ. (Тривиаль топологи) $X$ нь ямар нэг олонлог бол $\mathfrak{T}=\{\varnothing,X\}$ нь топологи болох ба энэ нь $X$ дээр тодорхойлж болох хамгийн бүдүүн (ө.х. хамгийн бага) топологи юм. Энэ үед зөвхөн хоосон олонлог ба $X$ өөрөө задгай бөгөөд битүү (ө.х. $X$ нь холбоост), бусад бүх дэд олонлогууд нь задгай ч биш битүү ч биш болно.

Жишээ. (Дискрет топологи) $X$ нь ямар нэг олонлог бол түүний бүх дэд олонлогуудын олонлог $X$ дээр топологи тодорхойлно гэдгийг хялбархан шалгаж болно. Энэ нь $X$ дээр тодорхойлж болох хамгийн нарийн (ө.х. хамгийн том) топологи юм. Энэ үед байж болох бүх дэд олонлог нэгэн зэрэг задгай бөгөөд битүү болно (холбоост биш).

Ерөнхийдөө дээрх хоёр топологи нь $X$ дээр тийм ч сонирхолтой бүтцийг оруулж чаддаггүй.

Жишээ. (Евклидийн топологи) $\mathcal{U}\subset\mathbb{R}^n$ байг. Хэрэв дурын $x\in\mathcal{U}$ болгоны хувьд

$B(x,\varepsilon):=\{y\in\mathbb{R}^n:|y-x|<\varepsilon\}\subset\mathcal{U}$ ,

байх $\varepsilon>0$ олддог бол $\mathcal{U}$ -г задгай гэж нэрлэснээр Евклидийн огторгуй $\mathbb{R}^n$ дээрх стандарт топологи тодорхойлогдоно. Өөрөөр хэлбэл задгай олонлогийн цэг бүр дээр төвтэй тэг биш радиустай уг олонлогт бүхлээрээ багтдаг задгай бөмбөрцгүүд оршин байна. Энэ топологийн хувьд $\mathbb{R}^n$ нь холбоост.

Дасгал. Дээрх жишээ нь $\mathbb{R}^n$ дээр топологи тодорхойлно гэж үзүүл.

Дасгал. Топологийн 2 ба 3-р аксиомууд хоорондоо тэгш хэмтэй биш байгаа. Хэрэв 3-р аксиомд төгсгөлгүй тооны дэд олонлогийн огтлолцлыг зөвшөөрвөл бодит тоон шулуун $\mathbb{R}$ дээрх стандарт топологи дискрет топологи болж хувирна гэж харуул.

$A\subset X$ дэд олонлогийг агуулах $X$ -ийн бүх битүү дэд олонлогуудын огтлолцлыг $A$ олонлогийн битүүрэл гээд $\bar{A}$ гэж тэмдэглэнэ. $\bar{A}$ нь битүү бөгөөд ${A}$ -г агуулна. Мөн $A$ нь битүү байх нь $A=\bar{A}$ гэдэгтэй эквивалент. Хэрэв $A\subset X$ дэд олонлогийн битүүрэл $X$ -тэй тэнцүү бол $A$ -г $X$ дотор шигүү гэж ярьдаг. $A\subset X$ дэд олонлогт агуулагдах $X$ -ийн бүх задгай дэд олонлогуудын нэгдлийг $A$ олонлогийн дотор хэсэг гээд $A^\circ$ гэж тэмдэглэнэ. $A^\circ$ нь задгай ба $A$ -д агуулагдана. Мөн $A$ нь задгай байх нь $A=A^\circ$ гэдэгтэй эквивалент. Дэд олонлог $A$ -ийн хил $\partial A$ гэдэгт бид $A$ -ийн битүүрэлд орох боловч $A$ -ийн дотор хэсэгт ордоггүй бүх цэгүүдийн олонлогийг ойлгоно: $\partial A:=\bar{A}\setminus A^\circ$ . Задгай олонлог үргэлж хилээсээ тусгаар байдаг бол битүү олонлог үргэлж хилээ агуулж байдаг.

Жишээ. Бодит тоон шулуун дээрх стандарт топологийг авч үзье. $a<b$ бодит тоонууд бол ${}[a,b]$ -ийн гүйцээлт $(-\infty,a)\cup(b,\infty)$ нь задгай учир ${}[a,b]$ нь битүү. $A=(a,b)$ бол $\bar{A}=[a,b]$ байна. Энэ олонлогийн хил нь $\partial A=\{a,b\}$ хоёр цэгээс тогтоно. $(a,b)$ , ${}[a,b]$ , ${}[a,b)$ , ба $(a,b]$ олонлогууд бүгд нэг ижил хил, битүүрэл болон дотор хэсэгтэй бөгөөд бүгд ${}[a,b]$ дотор шигүү олонлогууд болно.

Одоо топологийг ямар аргаар хялбархан өгч болох вэ гэсэн асуудал гарна. Мэдээж бүх задгай олонлогуудыг тоочих нь ерөнхий тохиолдолд боломжгүй. Тэгэхээр задгай олонлогуудыг шинж чанараар нь өгөх арга үлдэнэ. Үүнийг гүйцэтгэж болох хэд хэдэн стандарт хэрэгсэл байдаг.

Дээр Евклидийн топологийг хэрхэн өгч байсныг өргөтгөн дараах аргыг гаргаж болно. $X$ олонлогийн дэд олонлогуудын олонлог $\mathfrak{B}$ дараах хоёр нөхцлийг хангадаг бол $\mathfrak{B}$ -г суурь гэнэ:

Дурын $x\in X$ цэгийн хувьд $x\in B$ байх $B\in\mathfrak{B}$ олддог (ө.х. $X$ нь $\mathfrak{B}$ -ийн элементүүдийн нэгдэл болдог);
Дурын $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$ олоногуудын хувьд $B_1\cap B_2$ нь \mathfrak{B}$-ийн зарим элементүүдийн нэгдэл байдаг.

$X$ -ийн ямар нэг суурь $\mathfrak{B}$ өгөгдсөн үед $X$ дээрх $\mathfrak{B}$ сууриар төрөгдсөн топологи $\mathfrak{T}_{\mathfrak B}$ -ийг дараах байдлаар тодорхойлдог: $\mathcal{U}$ нь $\mathfrak{T}_{\mathfrak B}$ -д байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын $x\in\mathcal{U}$ болгоны хувьд $x\in B\subset\mathcal{U}$ байх $B\in\mathfrak{B}$ олддог байх явдал юм. Энэ үед $\mathfrak{B}$ -г $\mathfrak{T}_{\mathfrak B}$ топологийн суурь гэнэ.

Урьдах жишээнээс $\mathbb{R}^n$ дээрх стандарт топологи $\mathfrak{T}_{\mathbb E}$ нь

$\mathfrak{B}=\{B(x,\varepsilon):x\in\mathbb{R}^n,0<\epsilon<\infty\}$ ,

сууриар төрөгдсөн болохыг харж болно.

Дасгал. Дээрх өгүүлбэрийг батал.

$X$ -ийн дэд олонлогуудын дурын олонлог $\mathfrak{S}$ өгөгдсөн үед $X$ -ийг агуулсан хамгийн бүдүүн (ө.х. $\mathfrak{S}$ -ийг агуулсан бүх топологиудын огтлолцол) топологи $\mathfrak{T}_{\mathfrak S}$ -г тодорхойлж болно. Бид ${\mathfrak S}$ нь $\mathfrak{T}_{\mathfrak S}$ -ийн дэд суурь эсвэл суурийн үүсгэгч гэж ярьна. $\varnothing$ , $X$ болон ${\mathfrak S}$ -ийн элементүүдийн бүх төгсгөлөг огтлолцлыг агуулсан $\mathfrak{B}_{\mathfrak S}$ олонлог $\mathfrak{T}_{\mathfrak S}$ топологийн суурь болно.

Дасгал. Өмнөх параграфт тодорхойлсон олонлог $\mathfrak{S}$ нь $X$ дээрх топологи болох ба мөн тэнд тодорхойлогдсон $\mathfrak{B}_{\mathfrak S}$ нь түүний суурь болно гэж батал.

Хэрэв $(X,\mathfrak{T})$ нь топологи огторгуй бөгөөд $A\subset X$ бол $A$ дээрх дэд огторгуйн буюу уламжлагдсан топологи нь

$\mathfrak{T}_A:=\{\mathcal{O}\cap A:\mathcal{O}\in\mathfrak{T}\}$ ,

гэж тодорхойлогдоно.

Дасгал. $\mathbb{R}^2$ дээрх стандарт топологиор $x$ тэнхлэг (ө.х. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y={0}\}$ ) дээр уламжлагдсан топологи $\mathbb{R}$ дээрх стандарт топологитой адил гэж харуул.

Хэрэв $(X,\mathfrak{T}_X)$ ба $(Y,\mathfrak{T}_Y)$ нь топологи огторгуйнууд бол $X\times Y$ дээрх үржвэр топологийг

$\mathfrak{B}_{X\times Y}=\{\mathcal{U}\times\mathcal{V}:\mathcal{U}\in\mathfrak{T}_X,\mathcal{V}\in\mathfrak{T}_Y\}$ ,

сууриар тодорхойлно.

Дасгал. $\mathbb{R}$ дээрх стандарт топологиудын үржвэр $\mathbb{R}^2$ дээрх стандарт топологитой адил гэж харуул.

This entry was posted on Tuesday, February 12th, 2008 at 8:30 am and is filed under Топологи (ерөнхий). You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

16 Responses to Топологи огторгуй

leuffi says:

February 23, 2008 at 10:54 pm

Миний бодолоор, метрик огторгуйгаас эхэлбэл топологийг маш ойлгомжтойгоор нэвтрүүлж болох юм шиг.

Гол санаа нь:

1. Метрик огторгуйг доторхойлно.

Энэ нь зѳвхѳн топологи огторгуйн чухал жишээгээр зогсохгүй, ѳѳр маш олон салбарын (uniform structure, coarse structure гэх мэт) суурь болдог учираас энэ талаар ярихаас ѳѳр аргагүй.

2. Хэзээ 2 метрик нь хэзээ ижил чанартай (equivalent) болохийг тодорхойлно.

Зѳвхѳн $\mathbb{R}^2$ дээр гэхэд л олон янзын метрик байна. Гэвч метрик огторгуй дээрх тасралтгүй функцуудын тухай ярихад зѳвхѳн тэр метрикийн анги нь хамааралтай.

3. “Метрик топологи” гэдэгийг метрикийн анги гэж тодохойлъё.

4а. Тэгвэл 2 метрик нь нэг ангид хамаарах зайлшгүй бѳгѳѳд хүрэлцээтэй нѳхцѳл нь тэдгээрээр тодорхойлогдох задгай олонлогууд нь адилхан болохыг харна.

4б. Тасралтгүй буулгалт, дараалал эсвэл торын нийлэлт мэтийн чухал ойлголтууд нь бүгд задгай олонлог ашиглан бичигдэхийг харна.

4в. Үржвэр огторгуй, харьцаа огторгуй гэх мэт 4б дээрх ойлголтууд нь амархан тодорхойлогдох боловч энэ нь метрик топологи-ooр илэрхийлэгдэхгүй жишээ олон болохийг харна.

5. Эдгээр дээр үндэслэн задгай олонлогийн хангах ёстой аксиомуудыг авч топологи гэдэг нь юу болохыг тодорхойлно.

Reply
t8m8r says:

February 24, 2008 at 10:15 pm

За их гоё харагдаад байна наад програмыг чинь хэрэгжүүлэх гээд үзэх үү. Функцийн огторгуйн тухай ярихад метрик огторгуй байхад хангалттай байх. Гэхдээ цаана нь топологи гэж нэг юм байгаа гэдгийг заавал мэдэж байхгүй бол болохгүй. Тэгэхээр метрик огторгуйгаас эхэлбэл олон жишээнүүдээр их гоё “түлхэц” өгч болох байх.

Reply
leuffi says:

February 25, 2008 at 7:51 pm

Функцийн огторгуй гэхээр топологи огторгуй дээрх тасралтгүй функцуудийн огторгуй л биш бол ямар нэг нэмэлт структур хэрэгтэй биш үү? Зунаас тасралтүй функцан алгебрийн талаар жаал юм бичнээ. Одоохондоо зав муутай учираас, иймэрхүү илүү үг хэлэхээс хэтэрч чадахгүй нь 😦

Reply
t8m8r says:

February 25, 2008 at 8:06 pm

Функцийн огторгуй гэж би $R^n$ ба түүний дэд олонлогууд, мөн цогцос (manifold) дээрх функцүүдийг яриад байгаа юм. Нэмэлт структур хэрэг болно л доо. Шугаман вектор огторгуйн бүтэц орж ирнэ. Тэгэхээр автоматаар нэгэн төрлийн (uniform) болно. Мөн топологи нь хамгийн “хэцүүдээ” семинормуудын бүлээр өгөгддөг болохоор шууд метрик огторгуй болчихно. Илүү ерөнхий метрик бүтэц оруулж болдоггүй (хэрэглэгддэг) функцийн огторгуй байдаг эсэхийг мэдэхгүй юм.

Сайн “илүү үг” хэлж байгаарай. Хаана явж байгаагаа мэдэх “барьц” байхгүй бол би төөрөөд алга болчиж мэднэ. Бас өөрөө өөртэйгөө яриад байх жаахан уйтгартай 🙂

Функцийн алгебрын талаар хүлээж байя. Энэ нөгөө sheaf энэ тэртэй холбогдох уу?

Reply
leuffi says:

February 25, 2008 at 11:24 pm

Аан, тийм утгаар хэлсэн юм уу хэхэ. Би болохоор, тэр янз бүрийн огторгуйг тодорхойлоход суурь топологи огторгуйд чинь нэмэлт структур хэрэг болно гэсэн утгаар хэлсэн юм: хэмжээс, гѳлгѳр (smooth) структур гэх мэт.

Тасралтгүй юм уу гѳлгѳр функц гэвэл sheaf (давхарга ?) бараг хэрэг болохгүй. Харин рациональ/холоморфик гэвэл хэрэгтэй, глобал функц хэт цѳѳхѳн байх талтай учраас.

Reply
t8m8r says:

February 25, 2008 at 11:40 pm

Хэхэхэ. Банах цогцос дээрх функцүүд энэ тэр яривал аймаар юм болох байлгүй (миний хувьд тодорхойлолтоос цааш гарахгүй). Одоохондоо R^n дээрээ л байж байя. Гэхдээ алсдаа дифференциал тэгшитгэл авч үзвэл Фреше уламжлал гэх мэт орж ирж магадгүй. 🙂

Reply
leuffi says:

February 26, 2008 at 12:07 am

хахаха, 2уулаа шал ѳѳр юм яриад байнаа. Би $M$ дээр L^p огторгуйг тодорхойлоход $M$ -ийн хэмжээс, Соболев огторгуйг тодорхойлоход $M$ -ийн гѳлгѳр структур хэрэг болно гэх мэт гэсийн.

Reply
t8m8r says:

February 26, 2008 at 12:15 am

Түрүүнд ерөнхийд нь ойлгосоон одоо бүр ойлголоо. Хэмжээс гэхийг бүхэл тоо ярьж байна гэж ойлгоод байж. Хэмжээсийг (measure) яаж эвтэйхэн бөгөөд товчхон (L^p-г тодорхойлох хэмжээнд) оруулж ирэх вэ? Санаа юу байна.

Reply
leuffi says:

February 26, 2008 at 12:47 am

Би бол хэмжээсээс илүү интегралд дуртай: G. K. Pedersen-ий “Analysis Now”-ийн 6-р бүлэг дээрх мэтээр. Магадлал хийдэг хүмүүс уурлах л байх, миний хувьд сонирхолтой хэмжээсүүд дандаа топологи огторгуй дээрх регуларь Борел хэмжээс учраас интеграл нь хангалттай бѳгѳѳд илүү натурал. Цаашилаад коммютатив биш огторгуйлуу ѳргѳтгѳхѳд хүртэл амар 🙂 Өѳрѳѳр хэлбэл, Борел дэд олонлогуудийг биш Борел функцуудийг чухалчилж үзнэ гэсэн үг. (Топологи ч гэсэн, ихэнх тохиолдолд задгай олонлогоос илүү тасралтгүй функцийг чухалчилах нь зүйтэй)

Тэгээд ч интеграл ойлгоцон байхад, хэмжээс амархан: Борел функцийн үндэс суурь нь задгай олонлогууд биш Борел олонлогууд болох нь шууд харагдах учраас эдгээрийн хангах аксиомыг бичээд абстракт Борел структуртай болно. 🙂

Reply
t8m8r says:

February 26, 2008 at 1:02 am

Би энэ аргачлаын зах зухаас нь жаахан уншчихаад алинаар нь явах вэ шийдэж чадахгүй байсан юм. Ер нь үүнийг жаахан үзэж байгаад дагахаар шийдлээ. Нарийн юм хэлж өгсөнд баярлалаа 🙂

Reply
leuffi says:

March 7, 2008 at 5:12 am

битүүрэл гэж хэвшсэн хэллэг үү? битүүлэлт нь дээр сонсогдох юм.

Reply
t8m8r says:

March 9, 2008 at 6:26 am

Битүүрэл хэвшсэн хэллэг байх. Мекей багшийн номон дээр л тэгж байсан. “Битүүрэл” гэхээр өөрөө битүүрч байгаа, “битүүлэлт” гэхээр хэн нэгэн битүүлж байгаа мэт байгаа биз 🙂

Reply
t8m8r says:

May 28, 2008 at 6:48 pm

Интеграл дээр бас хоёр аргачлал байх шиг байна: Нэг нь шууд интеграл гэж ийм юм байх ёстой гээд хэдэн аксиом өгчихдөг, нөгөө нь Риманы интегралыг $L^1$ огторгуй руу тасралтгүйгээр үргэлжлүүлж гаргаж ирсэн интеграл (мэдээж эцсийн дүндээ бүгд адилхан). Энэ миний ойлголт зөв үү?

Reply
otogo says:

May 28, 2008 at 11:32 pm

хмм, асуултыг чинь сайн ойлгосонгүй. Миний мэдэхээр

1) Хэмжээсээс интеграл байгуулах. Энд Борел структур байхад хангалттай бѳгѳѳд интегралчлагдах функцуудынхаа үндэс болгож шатан функц ашиглана гэсэн үг. Хэрэглэхэд, хэрчим мэтийн хялбар олонлогоос яаж бүх Борел олонлогруу хэмжээсээ ѳргѳтгѳх вэ гэдэг нь гол асуудал болно.

2) Топологи огторгуйн тасралтгүй бѳгѳѳд компакт суурьтай функцууд дээр тодорхойлогдсон интегралаас эхлээд бүх интегралчлагдах функцуудыг байгуулж интегралаа ѳргѳтгѳх. Энд интеграл гэдэг нь зүгээр л эерэг шугаман функционал, жишээ нь Рийманы интеграл.

гэсэн 2 гол аргачлал байгаа. Аль аль нь хялбар функцууд дээр тодорхойлогдсон интегралыг том (гүйцэд) огторгуйруу үргэлжлүүлнэ гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг хийсвэрээр гүйцээлт хийх бол амархан, гол нь эдгээр байгуулалтууд энэ гүйцээлтийн concrete realization-ийг ѳгч байгаад ач холбогдол нь орших болов уу. Энэ үргэлжлүүлэх процесийг нэгтгээд Даниелийн интеграл гэж судалж болно.

Reply
otogo says:

May 28, 2008 at 11:46 pm

http://www.math.harvard.edu/~shlomo/ дээрх “Theory of functions of a real variable” нилээн дажгүй санагдсан. Хальт харахад хэмжээс, Даниелийн интеграл, хэрэглээ болгож Радоны интегралийн талаар нилээн дэлгэрэнгүй бичсэн байх шиг байсан.

Reply
t8m8r says:

May 29, 2008 at 12:00 am

За баярлалаа тэр номыг үзье.

Reply

Мянгатын семинар