PDE 1-6.5

August 30, 2008

[Засвар 9/11/2008] Эхний 6.5н лекц. Нийт 41-43н лекц бичигдэнэ.

Засаж залруулах юм байвал хэлээрэй.

pde 1-6.5

20 Comments | Математик (ерөнхий), Математик физик, Функцийн огторгуй | Permalink
Posted by otogo

Тухайн Дифференциалт Тэгшитгэл

August 23, 2008

Эхний 3н лекцээ бичээд үзлээ. Draft гэсэн болохоор мөр илүү гарсан хэсэг нь хараар тэмдэгдлэгдсэн байгаа. Энэ hyphenation-ийг яавал хамгийн амар юм бол доо. Бас LaTeX-ийг яаж хялбараар wordpress болгох уу? Бас зарим нэг хэллэгүүд нь сонин байгаа байх, засаж сайжруулах талаар зөвлөөрэй.

pde

19 Comments | Математик (ерөнхий), Математик физик | Permalink
Posted by otogo

Шугаман хувиргалт

July 7, 2008

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Мөн адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна. Read the rest of this entry »

5 Comments | Алгебр (ерөнхий) | Tagged: , , , , , , , , , | Permalink
Posted by t8m8r

285G, Lecture 1: Flows on Riemannian manifolds – Exercises

April 14, 2008

Exercise 1. Show that

\dot{\hbox{Riem}}_{\alpha \beta \delta}^\gamma = \frac{1}{2} g^{\gamma \sigma} ( \nabla_\alpha \nabla_\delta \dot g_{\beta \sigma} - \nabla_\alpha \nabla_\sigma \dot g_{\delta \beta} - \nabla_\beta \nabla_\delta \dot g_{\alpha \sigma} + \nabla_\beta \nabla_\sigma \dot g_{\delta \alpha} (12)

is consistent with the antisymmetry properties of the Riemann tensor, and with the Bianchi identities, as presented in the previous lecture. Read the rest of this entry »

4 Comments | Геометр (ерөнхий), Математик (ерөнхий), Метрик геометр | Tagged: , | Permalink
Posted by t8m8r

285G, Lecture 0: Riemannian manifolds and curvature – Exercises

April 3, 2008

Exercise 1. Show that the map (X, Y) \mapsto [X,Y] endows the space \Gamma(TM) of vector fields with the structure of an abstract Lie algebra. Also establish the Leibniz rule

{}[X, fY] = (\nabla_X f) Y + f [X,Y] (5)

for all X, Y \in \Gamma(TM) and f \in C^\infty(M). \diamond Read the rest of this entry »

Leave a Comment » | Геометр (ерөнхий), Математик (ерөнхий), Метрик геометр | Permalink
Posted by otogo

Шугаман огторгуй

March 17, 2008

Дараах зүйлүүд өгөгдсөн болог:

  1. Талбар K; Энэ талбарын элементүүдийг бид цаашид \alpha,\beta гэх мэт жижиг грек үсгүүдээр тэмдэглэх ба коэффициентүүд, эсвэл скалярууд гэж нэрлэнэ.
  2. Аддитив абелийн бүлэг M; Энэ бүлгийн элементүүдийг бид энд x,y гэх мэт жижиг латин үсгүүдээр тэмдэглэх ба векторууд гэж нэрлэнэ.
  3. Скаляр \alpha\in K ба вектор x\in M бүрийн хувьд тэдгээрийн үржвэр гэж нэрлэгдэх ямар нэг вектор \alpha\cdot x\in M харгалзуулах дүрэм (\alpha, x)\mapsto\alpha\cdot x. Бид \alpha\cdot x гэхийг ихэвчлэн \alpha x гэж бичих ба энэ үржих үйлдлийг дараах аксиомуудыг хангадаг байхыг шаардана:
  • \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y (вектор нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (скаляр нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) (бүлэглэх хууль).
  • 1x=x.

Тэгвэл M бүлгийг (K талбар ба скаляраар үржих үйлдэлтэй нь хамт авч үзэж буй үед) K талбар дээрх шугаман огторгуй (өөрөөр вектор огторгуй) гэж нэрлэнэ. Бодит тоон талбар дээрх шугаман огторгуйг бодит шугаман огторгуй, комплекс тоон талбар дээрхийг нь комплекс шугаман огторгуй гэнэ. Бид цаашид зөвхөн бодит эсвэл комплекс шугаман огторгуйг авч үзэх учир дээрх тодорхойлолтыг шууд K=\mathbb{R} эсвэл K=\mathbb{C} болгоод уншсан ч болно. Гагцхүү шугаман огторгуйн скалярууд нь зөвхөн бодит тоонууд байх албагүй гэдгийг санаж байх хэрэгтэй.

Дээрх аксиомууд нь үндсэндээ скаляраар үржих үйлдлийг M дээрх абелийн бүтэц ба K дээрх цагираг бүтцийг хадгалдаг байхыг шаардана (K нь зөвхөн цагираг үед M-ийг модуль гэнэ). Read the rest of this entry »

3 Comments | Алгебр (ерөнхий) | Tagged: , , , | Permalink
Posted by t8m8r

Компакт олонлог

February 22, 2008

X нь топологи огторгуй (бид ямар топологи ярьж байгаа нь тодорхой ойлгогдохоор үед олонлогийн топологийг нь тэмдэглэх тусгай тэмдэглэгээ оруулахгүй) ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Хэрэв \{O_\alpha\} дэд олонлогуудын бүлийн нэгдэл A-г агуулдаг (ө.х. A\subseteq\cup_\alpha O_\alpha) бол \{O_\alpha\} бүлийг A олонлогийн хучилт гэж нэрлэнэ. Хучилтын бүх элемент задгай олонлогууд бол задгай хучилт болно. Хэрэв хучилтын дэд олонлог мөн A олонлогийн хучилт болдог бол түүнийг дэд хучилт гэнэ.

Тодорхойлолт. A олонлогийн дурын задгай хучилт төгсгөлөг дэд хучилт агуулдаг бол A-г компакт олонлог (өөрөөр авсаар олонлог) гэнэ.

Жишээ. Дурын топологи огторгуйд ганц цэгээс бүтсэн олонлог авсаар олонлог болно. Бодит тоон шулуун дээр стандарт топологийн дор (0,1) задгай завсар нь компакт биш. Учир нь \{(\frac1n,1):n\in\mathbb{N}\} задгай хучилтад төгсгөлөг дэд хучилт олдохгүй. Read the rest of this entry »

10 Comments | Топологи (ерөнхий) | Tagged: , , , , | Permalink
Posted by t8m8r

Цэгийн орчин ба Хаусдорф огторгуй

February 17, 2008

(X,\mathfrak{T}) нь топологи огторгуй болог. Тэгвэл x\in X цэгийн орчин гэдэгт x\in U байх задгай олонлог U-г агуулсан X-ийн дэд олонлогийг ойлгоно. Өөрөөр хэлбэл x\in U\in\mathfrak{T} ба U\subset N\subset X байх N олонлогийг x цэгийн орчин гэнэ. (Тухайлбал орчин нь задгай олонлог байх албагүй.)

Жишээ. \mathbb{R} олонлогийг стандарт топологитой нь авч үзье. Тэгвэл {}[0,1] хэрчим нь дурын x\in(0,1) цэгийн орчин болно. Read the rest of this entry »

Leave a Comment » | Топологи (ерөнхий) | Tagged: , | Permalink
Posted by t8m8r

Тасралтгүй буулгалт ба гомеоморфизм

February 16, 2008

Тасралтгүй буулгалт нь хар үгээр хэлбэл хоорондоо ойрхон цэгүүдийг хоорондоо ойрхон цэгүүдэд буулгадаг буулгалт юм.

(X,\mathfrak{T}_X) ба (Y,\mathfrak{T}_Y) топологи огторгуйнууд өгөгдсөн үед f:X\to Y буулгалт \mathcal{U}\in\mathfrak{T}_Y болгоны хувьд f^{-1}(\mathcal{U})\equiv\{x\in X:f(x)\in\mathcal{U}\}\in\mathfrak{T}_X байдаг бол f-ийг тасралтгүй буулгалт гэнэ. Өөрөөр хэлбэл тасралтгүй буулгалт нь задгай олонлогийн эх дүрийг задгай байлгадаг буулгалт болно.

Жишээ. Тасралтгүй функцийн дээрх тодорхойлолт тасралтгүйн тухай бидний ердийн төсөөлөлтэй таарч байгаа эсэхийг сонирхъё. f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} функцийг

f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x,&x<0,\\1+x,&x\geq0,\end{array}\right.

гэж тодорхойлъё. Бид ердийн анализийн хичээлээс уг функц x=0 цэг дээр “тасралттай” гэж мэднэ. Одоо \mathbb{R} дээрх стандарт топологийг авч үзье. Хэрэв (2,3) задгай олонлогийн эх дүрийг сонирхвол f^{-1}((2,3))=(1,2) буюу задгай олонлог байна. Тэгэхээр энэ жишээ функцийг тасралтгүй биш гэж харуулж чадсангүй. Харин (0,2) олонлогийн эх дүрийг сонирхвол f^{-1}((0,2))=[0,1) болж, энэ нь задгай олонлог биш тул f нь дээрх тодорхойлолтоор тасралтгүй байж чадахгүй болж таарлаа. Read the rest of this entry »

Leave a Comment » | Топологи (ерөнхий) | Tagged: , | Permalink
Posted by t8m8r

Топологи огторгуй

February 12, 2008

Юуны өмнө топологи огторгуйн талаар анхан шатны ойлголтоо сэргээцгээе. Топологи огторгуй нь үнэндээ (“топологи” хэмээгдэх) тодорхой бүтэц бүхий олонлог бөгөөд хар үгээр хэлбэл олонлог дээрх топологи нь уг олонлогийн аль элементүүд бие биедээ “хязгааргүй ойрхон” бэ гэдгийг зааж өгдөг. Ингэснээр дарааллын хязгаар, тасралтгүй функц гэх мэт ойлголтуудыг өргөтгөн тодорхойлох боломжтой болно. Топологи гэдэг нь бодит (болон комплекс) тоон дарааллын хязгаар, мөн функцийн хязгаар зэргийг тодорхойлоход шаардагдаж буй зөвхөн тэр шинж чанаруудыг ялган авч хийсвэрлэн аксиомчилсан бүтэц гэж ойлгож болно. Тэгэхээр жирийн бодит тоон шулууны “топологи” нь ерөнхий топологийн шинж чанаруудыг хангадаг зөвхөн нэг жишээ топологи болж хувирна. Эхлэлийн цэг нь хэт ерөнхий мэт байж болох ч топологийн тухай маш баялаг онол босгож болдог. Топологи нь өнгөрсөн зуунд маш хүчтэй хөгжсөн ба өнөөдөр топологитой холбоогүй, түүнийг хэрэглэдэггүй математикийн салбар олоход хэцүү болжээ. Мэдээж бодит тоон шулуун дээрхээс өөр “хэрэгцээтэй” топологи байдаггүйсэн бол топологийн онолыг хөгжүүлэх нь төдий л сонирхолтой бус байхсан. Бид сүүлд функцүүдийн олонлогууд дээрх топологиудыг оролцуулан маш олон жишээ авч үзнэ. Одоо илүү үгээ цэглээд математик руугаа оръё. Read the rest of this entry »

16 Comments | Топологи (ерөнхий) | Tagged: , , , , , , , , , , | Permalink
Posted by t8m8r

« Previous Entries